ECM - COLLEGE PRIVE MONGO BETI - EVALUATION N°4 - ANNEE SCOLAIRE 2021 - 2022 - CLASSETLE ACD CAMEROUN

Epreuve et corrige de la classe de tle c-d mathematiques controle n°1 annee scolaire 2024-2025 cameroun

Exercice 1 : Raisonnement par récurrence sur ℕ (10 points)
1- Démontrer par récurrence que pout tout entier ? ≥ 1, on a : 2 points × ? = 6 points

(a) ∑
?(? + 1)
?
?=1
=
?(?+1)(?+2)
3
.
(b) 10
?
− 1 est un multiple de de 9.
(c) ∑
?−1
? ∙ 2
= [(? − 1) ∙ 2
?
] + 1
?
?=1
.
2- Démontrer par récurrence que pour tout entier ? ≥ 5, on a : 2
?
> 5(? + 1).2 points
3- Soit la suite (??) definie par ?0 = −
1
2
et ??+1 =
5??+6
??+4

(a) Démontrer par récurrence que ∀? ? ℕ, −
1
2
≤ ?? < 3. 1,5 point
(b) En posant par ??+? = ?(??), déterminer le réel ? vérifiant ?(?) = ?. 1,5 point